六年级奥数 · 第 1 课
规则与捷径
定义新运算 · 简便运算
热身
开课先来两道“怪题”
挑战 ①这个 ✱ 是什么意思？
2 ✱ 3 = 2 + 22 + 222
5 ✱ 2 = 5 + 55
7 ✱ 4 = 7 + 77 + 777 + 7777
挑战 ②谁能最快算出来？
333387{1/2} × 79 + 790 × 66661{1/4}
第一题考你会不会读规则，第二题考你会不会找捷径。今天就学这两件事。
第一部分
定义新运算
每道题都会发明一台新机器。
你只要看懂说明书，照着做。
定义新运算
新符号，老算法
题目会自己“发明”一个符号，比如
✱ △ ⊙ ⊗
然后告诉你：这个符号等于一串加减乘除。
a ✱ b = a + b + 1
← 这就是“说明书”
符号是新的，但里面全是你早就会的东西。
定义新运算
学会了，能怎样？
🗝️没见过也能做每道题的符号都不一样，靠背题型背不过来。会读规则，就什么题都能做。
🎯一步都不出错代错一个字母，答案就全错。这个习惯以后学公式、学方程、学编程天天用。
🔁还能倒过来知道结果，反推出原来的数，这就是方程的思路。
就像玩一款新的桌游：先读规则，然后严格照着走。
定义新运算
说明书怎么用？三步
👀① 看位置符号左边的数放到哪？右边的数放到哪？
📥② 代进去字母换成数。
有括号，先算括号里的。
🧮③ 照常算变成普通的加减乘除，按顺序算出来。
a ✱ b = (
a +
b) + (
a −
b)
= 18 + 8 = 26
13 ✱ 5：13 是 a，5 是 b
定义新运算 · 动手玩
运算机器 你来报数，机器代入
定义新运算 · 例题
规定 p △ q = 4 × q − (p + q) ÷ 2，求 3 △ (4 △ 6)
先看清楚：乘 4 的是 q，也就是 △ 右边的数。① 看位置
括号先算：4 △ 6 = 4 × 6 − (4 + 6) ÷ 2 = 24 − 5 = 19② 代进去
3 △ 19 = 4 × 19 − (3 + 19) ÷ 219 坐到右边
= 76 − 11 = 65③ 照常算
定义新运算 · 说明书藏起来了
没给说明书？那就自己找
1 ✱ 5 = 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111
2 ✱ 4 = 2 + 22 + 222 + 2222
3 ✱ 3 = 3 + 33 + 333
左边的数：用哪个数字
右边的数：一共加几项
7 ✱ 4 = 7 + 77 + 777 + 7777 = 8638
210 ✱ 2 = 210 + 210210 = 210420
注意：是把“210”整个重复两遍，不是 2100。
定义新运算 · 倒过来
规定 a ⊙ b = 4a − 2b + {1/2}ab，已知 x ⊙ (4 ⊙ 1) = 34，求 x
括号先算：4 ⊙ 1 = 16 − 2 + 2 = 16
x 不知道？照样代进去：x ⊙ 16 = 4x − 32 + 8x = 12x − 32
不想一个个试？直接列方程：12x − 32 = 34，12x = 66，x = 5.5新运算变成了方程
定义新运算 · 小结
定义新运算，记住三句话
📍对准位置左边的数、右边的数，各进各的坑。
🧱括号先算先拆掉里层，结果再坐回原来的位置。
🚫别乱交换先变成普通算式，再用运算定律。
第二部分
简便运算：找捷径
同一个终点，有人绕山路，有人走桥。
今天闯四关，每一关学一座“桥”。
简便运算
学会了，能怎样？
⚡快很多吓人的大数题，几行就能算完，有的甚至能口算。
✅准步骤越少越不容易错。凑成整十整百，就几乎不会算错。
🔍会看动笔前先观察 10 秒。这个习惯比任何一个技巧都值钱。
第一关
凑一凑，
提一提
找能凑成整数的“好朋友”，
把重复出现的数提出来。
第一关 · 工具 ① 凑整
4.75 − 9.63 + (8.25 − 1.37)
+4.75
+8.25
−9.63
−1.37
+13
−11
= 2
每个数带着自己前面的符号搬家。减两次，就等于减它们的和：a − b − c = a − (b + c)
第一关 · 工具 ② 乘法分配律
为什么能“提出来”？看面积
a × c + b × c = (a + b) × c高一样的两块长方形，可以拼成一块
第一关 · 看不到公因数？拆一个出来
36 × 1.09 + 1.2 × 67.3
盯着 1.2 看：36 = 1.2 × 30拆！
= 1.2 × 30 × 1.09 + 1.2 × 67.3
= 1.2 × (32.7 + 67.3)又凑整了
= 1.2 × 100 = 120
第一关 · 揭晓开场的挑战 ②
333387{1/2} × 79 + 790 × 66661{1/4}
79 和 790 只差 10 倍！先看
= 33338.75 × 790 + 790 × 66661.25一个 ÷10，一个 ×10
= (33338.75 + 66661.25) × 790提出 790
= 100000 × 790 = 79000000
第二关
先看整体
退后一步看全局，
藏着的规律就会自己亮起来。
第二关 · 按数位拆
1234 + 2341 + 3412 + 4123
每一列都是 1、2、3、4，每一列都加起来是 10。
= 10 × 1111 = 11110
第二关 · 拆平方
2001² − 2000² 等于多少？
6×6 的大正方形，减去 5×5 的小正方形，剩下一个 L 形。
把 L 形拉直：长度是 6 + 5。
6² − 5² = 6 + 5
2001² − 2000² = 2001 + 2000 = 4001
第二关 · 分子变成分母
{1993 × 1994 − 1/1993 + 1992 × 1994}
分母里有 1992 × 1994，分子里却是 1993 × 1994。把 1993 拆成 1992 + 1！
分子 = 1992 × 1994 + 1994 − 1 = 1992 × 1994 + 1993
分子和分母一模一样，所以答案是 1
第二关 · 打包
(9{2/7} + 7{2/9}) ÷ ({5/7} + {5/9})
9{2/7} = {65/7}，7{2/9} = {65/9}。分子都是 65！
= 65 × ({1/7} + {1/9}) ÷ [ 5 × ({1/7} + {1/9}) ]
黄色的两包一模一样，直接约掉：= 65 ÷ 5 = 13
📦 把 ({1/7} + {1/9}) 当成一个包裹，不用拆开算。第四关还会用到这个方法。
第三关
分数：
拆一块，拼一块
切蛋糕的时候，
怎么分最好分？
第三关 · 差一点就是 1
{44/45} × 37 = ?
{44/45} 只比 1 少一小块：1 − {1/45}
= (1 − {1/45}) × 37
= 37 − {37/45}
= 36{8/45}
同样的道理反过来：27 × {15/26}，把 27 看成 26 + 1，结果是 15 + {15/26} = 15{15/26}。
第三关 · 拆带分数
73{1/15} × {1/8} 也就是：73{1/15} 块蛋糕平分给 8 个人
73 不能被 8 整除，72 可以。把 1 块借给分数：
73{1/15} = 72 + {16/15}
= 72 × {1/8} + {16/15} × {1/8}
= 9 + {2/15} = 9{2/15}
第三关 · 分子可以互换
{5/6} × {1/13} + {5/9} × {2/13} + {5/18} × {6/13}
分数相乘是“上乘上、下乘下”，所以两个分子可以交换位置：
56 ×
113
← 点一下看交换
每项都变出 {5/13}：= ({1/6} + {2/9} + {6/18}) × {5/13}
= {13/18} × {5/13} = {5/18}
第三关 · 除法也能拆
166{1/20} ÷ 41
拆出 41 的倍数：164 + 2{1/20}
= 164 ÷ 41 + {41/20} ÷ 41
= 4 + {1/20} = 4{1/20}
1998 ÷ 1998{1998/1999}
化假分数时，分子别乘出来：
1998{1998/1999} = {1998 × 2000/1999}
= 1998 × {1999/1998 × 2000} = {1999/2000}
第四关
裂项：中间全部消失
一长串分数，中间两两抵消，最后只剩头和尾。
第四关 · 先看懂一个分数
{1/2} 和 {1/3} 差多少？
换一个数试试：2
一个分数拆成两个分数相减，这就叫“裂项”。
第四关 · 一长串
{1/1×2} + {1/2×3} + {1/3×4} + … + {1/99×100}
每一项都拆成两个：
= 1 − {1/2} + {1/2} − {1/3} + {1/3} − {1/4} + … + {1/99} − {1/100}
中间全部抵消，只剩头和尾：= 1 − {1/100} = {99/100}
如果分母的两个数相差 2，比如 {1/2×4}，拆出来要再乘 {1/2}；相差 3 就乘 {1/3}。
第四关 · 也能拆成相加
1{1/3} − {7/12} + {9/20} − {11/30} + {13/42} − {15/56}
观察：12 = 3 × 4，7 = 3 + 4，所以 {7/12} = {1/3} + {1/4}
同理 {9/20} = {1/4} + {1/5}，{11/30} = {1/5} + {1/6} ……
= 1 + {1/3} − {1/3} − {1/4} + {1/4} + {1/5} − {1/5} − {1/6} + {1/6} + {1/7} − {1/7} − {1/8}
= 1 − {1/8} = {7/8}
第四关 · 借一块，再还回去
{1/2} + {1/4} + {1/8} + {1/16} + {1/32} + {1/64}
每块都是前一块的一半。拼起来，只差最后一小块就满了。
= 1 − {1/64} = {63/64}
一直加下去： 6 项
第四关 · 用字母打包
(1 + {1/2} + {1/3} + {1/4}) × ({1/2} + {1/3} + {1/4} + {1/5}) − (1 + {1/2} + {1/3} + {1/4} + {1/5}) × ({1/2} + {1/3} + {1/4})
同样的一串反复出现，用字母代替它：{1/2} + {1/3} + {1/4} = b，1 + b = a
= a × (b + {1/5}) − (a + {1/5}) × b
= ab + {1/5}a − ab − {1/5}b
= {1/5} × (a − b) = {1/5} × 1 = {1/5}
总结
看到什么，想到什么
| 一个没见过的符号 | → | 对准位置，括号先算，照说明书代入 |
| 能凑成整数的一对数 | → | 带着符号搬家，凑成整数 |
| 几项乘着同一个数 | → | 提出来：a×c + b×c = (a+b)×c |
| 公因数好像“差一点” | → | 拆一个出来：36 = 1.2 × 30 |
| 大数的平方相减 | → | L 形拉直：6² − 5² = 6 + 5 |
| 接近 1 的分数、带分数 | → | 1 − 一小块；拆出能整除的部分 |
| 分母是两数相乘，一长串 | → | 裂项，中间全消 |
| 同一串数反复出现 | → | 打包，用字母代替 |
今天带走两本秘籍
读懂规则 · 找到捷径
算之前先看一看：规则是什么？有没有更近的路？